গণিতের জগতে মৌলিক সংখ্যাগুলো অত্যন্ত রহস্যময়। ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭-এর মতো সংখ্যাগুলোর কোনো সহজ অনুক্রম সাধারণ দৃষ্টিতে ধরা পড়ে না। তবে দীর্ঘ গবেষণায় গণিতবিদরা এদের নিয়ে চমৎকার কিছু গাণিতিক বৈশিষ্ট্য উন্মোচন করেছেন। এমনই একটি দাবি হলো, ২ ও ৩ ছাড়া পৃথিবীর প্রতিটি মৌলিক সংখ্যাকে ৬k + ১ অথবা ৬k – ১ আকারে প্রকাশ করা সম্ভব, যেখানে k একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। বাকি থাকে শুধু 6k + 1 আর 6k + 5।

মৌলিক সংখ্যার গাণিতিক রূপ

যেকোনো পূর্ণসংখ্যাকে ৬ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ হিসেবে ০, ১, ২, ৩, ৪ বা ৫ থাকতে পারে। অর্থাৎ, প্রতিটি পূর্ণসংখ্যাকে নিচের ছয়টি কাঠামোর যেকোনো একটিতে ফেলা যায় আর 6k + 5 = 6(k + 1) -1, অর্থাৎ এটিকে 6k – 1 আকারেও লেখা যায় (k-এর জায়গায় k + 1 নিয়ে)। কারণ, সব পূর্ণসংখ্যাই ওই ছয় ভাগের কোনো একটিতে পড়ে। ১৭ = ৬(৩) – ১, ১৯ = ৬(৩) + ১, ২৩ = ৬(৪) – ১, ২৯ = ৬(৫) – ১, ৩১ = ৬(৫) + ১।

• ৬k: এটি ৬-এর গুণিতক হওয়ায় মৌলিক নয়।
• ৬k + ২ = ২(৩k + ১): এটি জোড় সংখ্যা, তাই ২ ছাড়া মৌলিক নয়।
• ৬k + ৩ = ৩(২k + ১): এটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য, তাই ৩ ছাড়া মৌলিক নয়।
• ৬k + ৪ = ২(৩k + ২): এটিও জোড় সংখ্যা, তাই মৌলিক নয়।

উপরের বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায়, কেবল ৬k + ১ এবং ৬k + ৫ (যা ৬k – ১-এর সমতুল্য) কাঠামোর সংখ্যাগুলোই মৌলিক হতে পারে। এর বাইরে মৌলিক সংখ্যার অন্য কোনো রূপ থাকা অসম্ভব। তবে মনে রাখা জরুরি, এই নিয়মটি মৌলিক সংখ্যা খুঁজে পাওয়ার প্রক্রিয়া সহজ করলেও, ৬k ± ১ আকারের সব সংখ্যাই মৌলিক নয়; যেমন k=৪ হলে ৬(৪)+১ = ২৫, যা ৫ দ্বারা বিভাজ্য। ভাগশেষের একটি সহজ খেলায় প্রমাণ হয়ে যায় মৌলিক সংখ্যার এক সুন্দর নিয়ম। তাই এই নিয়ম মৌলিক খোঁজার জায়গা ছোট করে দেয়, মৌলিক বানায় না। আরোহে দেখাতে হয়, n – এ সত্য হলে n + 1-এ সত্য। এই প্রমাণের আসল শক্তি ভাগশেষের যুক্তি: সব সংখ্যাকে কয়েকটি দলে ভাগ করে দেখানো, কোন দলে মৌলিক থাকতে পারে না।

মৌলিক সংখ্যার রহস্যময় কিছু প্যাটার্ন

এই গাণিতিক নিয়মের পাশাপাশি মৌলিক সংখ্যা নিয়ে আরও কিছু বিস্ময়কর তথ্য রয়েছে

• যমজ মৌলিকের গুণফল: যে দুটি মৌলিক সংখ্যার ব্যবধান ২, তাদের যমজ মৌলিক বলে। ৩-এর চেয়ে বড় যমজ মৌলিকগুলোর ক্ষেত্রে (৬k – ১) ও (৬k + ১)-এর গুণফলের সাথে ১ যোগ করলে প্রাপ্ত ফলটি সবসময় একটি পূর্ণবর্গ এবং ৩৬ দ্বারা বিভাজ্য হয়। যেমন: ৫ ও ৭-এর জন্য (৫×৭)+১ = ৩৬।
• পি স্কয়ার মাইনাস ওয়ান (p² – ১) এবং ২৪: ৩-এর চেয়ে বড় যেকোনো মৌলিক সংখ্যা p-এর ক্ষেত্রে p² – ১ সবসময় ২৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়। এর কারণ, p-১ ও p+১ দুটি জোড় সংখ্যার গুণফল ৮ দ্বারা এবং তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য। ৮ ও ৩ সহমৌলিক হওয়ায় তাদের গুণফল ২৪ দ্বারা ওই সংখ্যাটি বিভাজ্য।

আহমেদ জাওয়াদ চৌধুরী ও তামজীদ মোর্শেদ রুবাব তাদের ‘গণিতের স্বপ্নযাত্রা’ বইগুলোতে এই বিষয়গুলো চমৎকারভাবে ফুটিয়ে তুলেছেন। এই প্রমাণ আমি ভালোভাবে শিখেছি আহমেদ জাওয়াদ চৌধুরী ও তামজীদ মোর্শেদ রুবাবের গণিতের স্বপ্নযাত্রা-১: আর্ট অব প্রবলেম সলভিং আর গণিতের স্বপ্নযাত্রা-২: গণিত অলিম্পিয়াডের প্রথম ধাপ বই থেকে।

এখানে গাণিতিক আরোহ (Induction) পদ্ধতির চেয়ে ভাগশেষের যুক্তিটি বেশি কার্যকর।

সবশেষে একটি প্রশ্ন, ৩-এর চেয়ে বড় যেকোনো মৌলিক সংখ্যার বর্গকে ১২ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ সবসময় ১ থাকে।

কারণ, p²-১ যেহেতু ২৪ দ্বারা বিভাজ্য, তাই তা ১২ দ্বারাও বিভাজ্য হবে।

বাংলাদেশ গণিত অলিম্পিয়াড কমিটির সহায়তায় এই গাণিতিক সৌন্দর্যগুলো ছড়িয়ে পড়ছে শিক্ষার্থীদের মাঝে।

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• ∎ 6k + 2 = 2(3k + 1): সব সময় জোড়, তাই ২ ছাড়া মৌলিক নয়।
• (৫, ৭), (১১, ১৩), (১৭, ১৯), (২৯, ৩১)… ৩-এর পরের যমজ মৌলিকেরা সব সময় 6k – 1 আর 6k + 1। কারণ, 6k ± 1 ছাড়া অন্যরূপে যমজ সম্ভব নয়। এবার এদের গুণ করে ১ যোগ করো।
• অর্থাৎ ফল সব সময় একটি পূর্ণবর্গ, আর ৩৬ দিয়ে বিভাজ্য! মিলিয়ে দেখো: ৫ × ৭ + ১ = ৩৬, ১১ × ১৩ + ১ = ১৪৪, ১৭ × ১৯ + ১ = ৩২৪ = ১৮ ২।
• ∎ দ্বিতীয় চমক: p 2 – 1 আর ২৪।
• ৫ ২ – ১ = ২৪, ৭ ২ – ১ = ৪৮, ১১ ২ – ১ = ১২০, ১৩ ২ – ১ = ১৬৮।